تدريس کنکوري

مفاهيم ابتدايي تابع

تابع به عنوان يک ماشين

به شکل‌هاي مختلفي مي‌توان مفهوم تابع در رياضي را بيان کرد. يکي از ملموس‌ترين روش‌ها، در نظر گرفتن تابع به عنوان يک ماشين است.

ماشين وسيله اي است که چيزي را به عنوان ورودي دريافت کرده، عملي بر روي ورودي انجام داده و سپس حاصل را به عنوان خروجي بيرون مي‌دهد.

مثال‌هاي زيادي در محيط اطراف ما وجود دارد که نوعي ماشين هستند:

يک کامپيوتر اطلاعات مربوط به نمرات درسي را به عنوان ورودي دريافت مي‌کند. سپس آنها را پردازش مي‌کند. در نهايت ميانگين دانش‌آموز را به عنوان خروجي بيرون مي‌دهد.

يک لامپ انرژي الکتريکي را به عنوان ورودي دريافت مي‌کند. به عنوان خروجي نور مي‌دهد.

آسياب گندم را به عنوان ورودي دريافت و آرد را به عنوان خروجي مي‌دهد.

نانوايي آرد را به عنوان ورودي دريافت و به عنوان خروجي نان توليد مي‌کند.

يک کارخانه ميخ‌سازي، آهن را به عنوان ورودي دريافت و ميخ را به عنوان خروجي توليد مي‌کند.

تابع رياضي هم دقيقاً همين کار را انجام مي‌دهد. فقط در رياضي، تابع ماشيني است که به ازاي هر ورودي، دقيقاً يک خروجي توليد مي‌کند. اگر بيش از يک خروجي توليد کند، ديگر تابع محسوب نمي‌شود.

در رياضي تابع را با حروف کوچک انگليسي نشان مي‌دهند.

مثال: فرض کنيد اگر ورودي بالاي 5 بود، خروجي دو برابر ورودي باشد. اگر بين 0 تا 5 بود، خروجي 2 باشد و اگر ورودي کمتر از 0 بود، خروجي قرينه ورودي باشد. در اين صورت ضابطه تابع به صورت زير تعريف مي‌شود:

$f(x) = \left\{\begin{matrix}2x & x > 5\\ 2 & 0 < x < 5\\ -x & x < 0\end{matrix}\right.$

مثال: فرض کنيد مي خواهيم ماشيني داشته باشيم که هر عددي را که به عنوان ورودي پذيرفت، آن را به توان سه رسانده، با يک جمع کرده و حاصل را به عنوان خروجي توليد کند. در اينصورت، ضابطه تابع به صورت زير است:

$f(x) = x^{3} + 1$

مثال: ضابطه $\left |f(x) \right | = x$ يک تابع نيست. زيرا به ازاي هر ورودي x، يک خروجي توليد نمي کند. مثلا به ازاي x = 1 مقدار f(x) برابر با 1 و 1- است

تابع به عنوان يک رابطه

در زندگي روزمره کلمه رابطه را خيلي زياد به کار مي‌بريم. مثلاً بيماري‌هاي قلبي با وزن بدن رابطه دارد. يعني کم يا زياد شدن وزن بدن، بر ميزان ابتلا به بيماري‌هاي قلبي اثر مي‌گذارد.

تابع هم نوعي رابطه است. مجموعه ورودي را به مجموعه خروجي ربط مي‌دهد. فقط تنها شرط اين رابطه اينست که هر عضو از مجموعه ورودي تنها به يک عضو از مجموعه خروجي ربط داده شود.

وقتي به تابع به عنوان يک رابطه نگاه کنيم.

تابع، ضرب دکارتي و زوج مرتب

ضرب دکارتي بين دو مجموعه برابر است با مجموعه‌اي از زوج‌هاي مرتب که مؤلفه اول هر زوج از مجموعه اول، و مؤلفه دوم هر زوج از مجموعه دوم باشد. به زبان رياضي، ضرب دکارتي را به صورت زير مي‌نويسيم:

$A\times B=\left \{ \left. (x,y)| x\in A, y\in B \right \} \right.$

تابع، زيرمجموعه‌اي از ضرب دکارتي دو مجموعه است. فقط تنها شرط آن اينست که اگر مؤلفه اول دو زوج مرتب برابر باشد، بايد مؤلفه دوم آنها هم برابر باشد. يعني از يک ورودي، بيش از يک خروجي ايجاد نشود.

$f = \left \{ (x,y)\in A \times B | x_{1}=x_{2}\Rightarrow y_{1}=y_{2} \right \}$